Асимптотика собственных чисел и собственных векторов операторов свертки.

Планируется построить асимптотические разложения собственных чисел и собственных векторов для Теплицивых матриц большой размерности и интегральных операторов свертки, определенных на отрезках большой длины в ряде новых случаев, возникающих в современных приложениях (комплекснозначные рациональные символы, символы зависящие от размерности матрицы или длины интервала).

На этой основе планируется разработать и численно реализовать решения систем уравнений свертки дискретных и континуальных возникающих, в частности, в теории опционов и теории восстановления изображений.

Восстановление изображений: предполагается разработать методы восстановления изображений, размытых искажениями. Такие искажения получаются в результате свертки исходного изображения с некоторой функцией. Предполагается исследовать такие классы сверток на предмет обратимости. Здесь понадобится теория многомерных операторов типа свертки. Так как камера фиксирует часть изображения, то прямое обращение свертки не дает желаемого результата. В этом случае уравнений получается меньше, чем неизвестных и однозначное решение невозможно. Однако теория проекционных методов позволяет найти часть неизвестных и таким образом восстановить часть изображения. Точное решение задачи не представляется возможным, поэтому для приближенных методов актуальными являются оценки погрешности, которые также планируется получить.

Методы решения современных задач вычислительной финансовой математики: применение вероятностных моделей и подходов и методов машинного обучения.

Исследуются преимущества комбинирования традиционных численных методов и методов машинного обучения (с акцентом на искусственные нейросети) для вычисления цен опционов в следующих направлениях: доказательство вероятностных аналогов теорем универсальной аппроксимации; применение искусственных нейронных сетей для моделирования процессов Леви при построении методов Монте-Карло; применение искусственных нейронных сетей второго и третьего поколения для построения приближенной факторизации Винера-Хопфа.